Zahlensysteme (Teil 1)

In diesem Kurs geht es um die Zahlensysteme. Im heutigen ersten Teil beschäftigen wir uns mit dem Dezimalen, Binären, Oktalen und Hexadezimalen Zahlensystem.

  1. Das Dezimale Zahlensystem

Das dezimale Zahlensystem ist das uns bekannteste. Wir sind gewohnt mit ihm zu arbeiten.

Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Wenn wir eine Dezimalzahllesen oder darstellen, wissen wir, dass die Zahlen von rechts nach links in ihrer Wertigkeit steigen. Die Steigung der Wertigkeit ist eine Potenz zur Basis 10.
Wir sprechen von Einern, Zehnern, Hunderter, Tausender, usw. Beispiel: die Dezimal Zahl 1073:

1      0       7       3
|      |       |       -------- 3 Einer
|      |       ---------------- 7 Zehner
|      ------------------------ 0 Hunderter
------------------------------- 1 Tausender

Mathematische Schreibweise:

1      0       7       3
|      |       |       -------- 3 * 10^0 = 3 * 1    =    3      
|      |       ---------------- 7 * 10^1 = 7 * 10   =   70
|      ------------------------ 0 * 10^2 = 0 * 100  =    0
------------------------------- 1 * 10^3 = 1 * 1000 = 1000
                                                     ------
                                                      1073
  1. Das Binäre (oder auch duale) Zahlensystem

Das binäre Zahlensystem hat nur die Möglichkeit die Zustände 0 oder 1 darzustellen.

Zahlenvorrat: 0,1

Auch im Binären Zahlensystem gilt, dass von rechts nach links die Wertigkeit der Zahl je Stelle zunimmt. Die Wertigkeit im Binären System ist eine Potenz zu Basis 2.
Beispiel: die Zahl 100011

Mathematische Schreibweise

1   0   0   0   1   1
|   |   |   |   |   ----------  1 * 2^0 = 1 *  1 =  1
|   |   |   |   --------------  1 * 2^1 = 1 *  2 =  2
|   |   |   ------------------  0 * 2^2 = 0 *  4 =  0
|   |   ----------------------  0 * 2^3 = 0 *  8 =  0
|   --------------------------  0 * 2^4 = 0 * 16 =  0
------------------------------  1 * 2^5 = 1 * 32 = 32
                                                  ----
                                                   35

Wenn wir nun die Ergebnisse der Wertigkeitsumrechnung addieren, so erhalten wir den Dezimalwest der Binärzahl.
Hier sehen wir schon den Nachteil der Darstellung im Dualsystem. Um die 2stellige Dezimalzahl 35 darzustellen brauchen wir 6 Dualstellen.

  1. Oktale Zahlensystem

Das oktale Zahlensystem hat wenig Bedeutung, wird aber von einigen Prozessoren angewandt.

Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7

Auch hier steigt die Wertigkeit der Zahl von rechts nach links. Die Wertigkeit ändert sich hier um die Potenz zu Basis 8
Beispiel: die Oktalzahl 7512

Mathematische Schreibweise

7   5   1   2
|   |   |   ------------ 2 * 8^0 = 2 *   1 =    2
|   |   ---------------- 1 * 8^1 = 1 *   8 =    8
|   -------------------- 5 * 8^2 = 5 *  64 =  320
------------------------ 7 * 8^3 = 7 * 512 = 3584
                                            ------
                                             3914

Wenn wir nun die Ergebnisse der Wertigkeitsumrechnung addieren, so erhalten wir den Dezimalwert der Oktalzahl.
Der Vorteil der Oktalschreibweise ist, das z.B. die 3stellige Binärzahl 111 durch eine Oktalzahl (7) dargestellt wird. Zur Darstellung der Dezimalzahl 9 braucht man jedoch 2 Oktalstellen (Oktalstellen (Oktalzahl=11). Nachrechnen ist erlaubt !

  1. Hexadezimales (oder auch Sedezimales) Zahlensystem

Zu den uns bekannten Zahlensystemen kommt noch ein weiteres. Das Hexadezimale Zahlensystem (auch Sedezimales Zahlensystem genannt).

Zahlenvorrat: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Die Wertigkeit der Zahlen steigt auch hier von rechts nach links. Die Steigerung ist eine Potenz zur Basis 16.

Beispiel die Hexadezimalzahl A7F3:

A   7   F   3
|   |   |   ----------- 3 * 16^0 =  3 *    1 =     3
|   |   --------------- F * 16^1 = 15 *   16 =   240
|   ------------------- 7 * 16^2 =  7 *  256 =  1792
----------------------- A * 16^3 = 10 * 4096 = 40960
                                              -------
                                               42995

Wenn wir nun die Ergebnisse der Wertigkeitsumrechnung addieren, so erhalten wir den Dezimalwert der Hexadezimalzahl.

Das war's für dieses mal, in der nächsten Ausgabe gehts weiter !

AR



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