Formelberechnung mit GfA-BASIC

Oft findet man in Computerzeitschriften und -büchern Programme in allen möglichen Sprachen, die Berechnungen oder graphische Darstellungen mit mathematischen Funktionen durchführen. Meist sind jedoch die Formeln fest im Programm „eingebaut“, und Änderungen können zum Teil mit erheblichem Aufwand verbunden sein, insbesondere wenn man mit Compilern arbeitet.

Wer mit einem BASIC-Interpreter herkömmlicher Art arbeitet, der über die Befehle CHAIN und MERGE verfügt, kann sich mit einem Trick aus der Patsche helfen. Wie in Listing 1 gezeigt ist es möglich, über den Umweg einer Diskettendatei ein sich selbst veränderndes Programm zu schreiben.

Programmiert man jedoch in einer Compilersprache oder z. B. mit dem enorm leistungsfähigen GfA-BASIC-Interpreter, kommt man mit solchen Kniffen nicht mehr weiter.

Hier hilft alles nichts, man muß sich sozusagen zu Fuß durch eine als Zeichenkette eingegebene Formel „beißen“ und Zeichen für Zeichen analysieren.

So aufwendig, wie das auf den ersten Blick scheinen mag, ist dies nun auch wieder nicht; das Zauberwort, das hier weiterhilft heißt Rekursion.

Schauen wir uns doch einmal eine Formel - einen arithmetischen Ausdruck wie die Mathematiker sagen - genauer an. Zur graphischen Verdeutlichung sollen hier sogenannte Syntax-Diagramme, ähnlich wie man sie zur Definition von PASCAL-Befehlen verwendet, weiterhelfen. Bild 1 erklärt die möglichen Symbole. Syntax-Diagramme werden in Pfeilrichtung auf Flußlinien durchlaufen; diese können sich an verschiedenen Stellen aufspalten und so Möglichkeiten zur Verzweigung und Schleifenbildung beschreiben. Die Kästchen mit den abgerundeten Ecken dienen nur der Namensgebung des jeweiligen Diagramms und können einfach übergangen werden.

Unsere Formel kann nun als Kette von Zeichen, die sich in bestimmte Teilketten zerlegen läßt, mit diesem Schema formal beschrieben werden.

So, wie man den arithmetischen Ausdruck von links nach rechts zu Papier bringt, kann man den Flußlinien folgen und, gemäß der mathematischen Hierarchie der Rechenregeln, von einer Grobdarstellung zu immer weiteren Unterteilungen gelangen.

Wohlgemerkt, Syntax-Diagramme sind weder Flußdiagramme noch dienen sie zur exakten Darstellung eines Programmablaufs, jedoch lassen sich die durch sie beschriebenen Regeln leicht in entsprechende Programm-Algorithmen umsetzen.

In Bild 2 ist nun allgemein ein arithmetischer Ausdruck dargestellt, der aus beliebig vielen einfachen Ausdrücken besteht, die über das Plus- oder Minuszeichen verknüpft sein können. Dies ist durch die Abzweigung hinter dem Käsen „Einfacher Ausdruck“ verdeutlicht, was bedeutet, daß hier abgebogen wird solange einem Teilausdruck ein Plus- oder Minusoperator folgt.

Beispiel:

6.89, (3/7.8 - 5)5, sin(exp(-37/8)) sind Teilausdrücke des o. g. arithmetischen Audrucks

Jeder einfache Ausdruck setzt sich aus einzelnen Termen zusammen, die über Multiplikation oder Division verknüpft sind (Bild 3).

Ein Term ist ein vorzeichenbehafteter Faktor, der gegebenenfalls wiederum mit einem vorzeichenbehafteten Faktor potenziert sein kann (Bild 4).

Ein vorzeichenbehafteter Faktor besteht aus einem vorzeichenlosen (positiven) Faktor mit eventuell vorangestelltem negativem Vorzeichen (Bild 5).

Wie in Bild 6 zu sehen, ist nun ein Faktor entweder eine positive reelle Zahl (die sich aus Ziffern, eventuell Dezimalpunkt und/oder Exponent zusammensetzt), ein in Klammern stehender arithmetischer Ausdruck, eine Variable (hier als „x“ bezeichnet) oder eine mathematische Funktion, deren Argument selbst wieder ein Faktor ist.

Listing 2 zeigt ein GfA-BASIC Programm, welches das Modul FORMEL. MRG enthält. Hier wird gezeigt, wie sich konsequent oben genannte Regeln ine ine Hochsprache umsetzen lassen. GfA-BASIC ist hierzu ebenso geeignet wie PASCAL oder C. Eine Umsetzung des Moduls in eine dieser Sprachen sollte daher keine Probleme bereiten. Bei FORMEL.MRG handelt es sich um ein universell benutzbares Teilprogramm, das leicht an unterschiedliche Anwendungen angepaßt werden kann.

Das eigentliche Hauptprogramm mit der Procedure Def_funktion dient nur der Demonstration von FORMEL.MRG. Das hier vorgestellte Modul kann sehr vielseitig verwendet werden, z. B. für einen selbstprogrammierten Taschenrechner, ein Funktionsplotprogramm oder die Analyse von mathematischen Funktionen. Erweiterungen mit beliebig komplexen Funktionen sind leicht durchzuführen, wie im Programmtext an entsprechender Stelle kommentiert wurde.

Ich hoffe, FORMEL.MRG gibt viele Anregungen für eigene Ideen und wünsche viel Spaß beim Programmieren.

(H. Bauch)