3D-Grafik-Programme und ähnliche Anwendungen gibt es viele. In Kaufhäusern und bei Freunden kann man faszinierende Körper, die im Raum herumwirbeln, bewundern. Aber leider sind die Programme dazu meistens schon compiliert. Da man aber selbst eifriger Programmierer ist, möchte man natürlich, unter allen Umständen und möglichst bald, sein eigenes Programm laufen sehen. Doch hier beginnt für viele der grausame Weg durch alte Schulbücher. Nichts dergleichen zu finden?

Dieser Artikel bringt Abhilfe. Er soll anhand von Rotationskörpern die Angst vor dem dreidimensionalen Raum vertreiben. Dabei wird ein Programm beschrieben, mit dem die Erstellung solcher Körper zum Kinderspiel wird. Hierbei werden Funktionen erläutert, die Sie auch in anderen 3D-Programmen verwenden können.

Was sind überhaupt Rotationskörper?

Rotationskörper sind Objekte, die durch Rotation eines in einer Ebene definierten Linienzuges entstehen. Dies klingt viel komplizierter, als es in Wirklichkeit ist. Schauen Sie sich zur Verdeutlichung Bild 2 an und stellen Sie sich vor, der Umriß des Glases rotiere um die y-Achse mit einem bestimmten Schrittwinkel. Der jetzt erhaltene Linienzug wird nun mit dem gleichen Winkel nochmals um die y-Achse gedreht. Diese Prozedur wiederholt sich solange, bis eine vollständige Rotation um 360° erreicht ist, und schon können wir unser fertiges Glas betrachten (Bild 3). Somit ergibt sich der Eindruck eines runden Körpers, der mit wenig Aufwand erstellt wurde. Je kleiner der Schrittwinkel, desto runder erscheint der Körper. Das Glas sieht jedoch noch besser aus, wenn wir die Punkte der aktuellen und die der letzten Ebene zu einer Fläche zusammensetzen und diese mit einer Lichtquelle bestrahlen.

Es sind also hohe Ziele für den Programmierer gesetzt. Zur Demonstration sehen Sie sich bitte die Bilder 1 und 4 an. Kommen wir nun zur Verwirklichung. Zuerst einmal benötigt man eine Datenstruktur für unseren Körper. Da uns in GFA-BASIC leider die Möglichkeit fehlt, Strukturen zu bilden, müssen wir auf Arrays zurückgreifen. Wir fangen in der Hierarchie ganz oben an und erkennen einen Körper, der aus Flächen besteht, wovon jede Fläche vier Eckpunkte besitzt. Hieraus ergibt sich schon unser erstes zweidimensionales Feld:

Flaeche(x,y), wobei x für die Anzahl der Flächen und y für die Punkte 0..3 der Fläche steht. Es ist natürlich umständlich, auch in diesem Array noch die x-,y- und z-Koordinaten der Punkte abzulegen. Deshalb speichern wir nur die Punktnummern - also den Index der Punkte - in anderen Arrays, welche wie folgt aufgebaut sind:

Das x beschreibt die Anzahl der Punkte, die das Feld umfaßt. Jetzt wäre es natürlich vorteilhaft zu wissen, wie sich die Anzahl der Punkte und Flächen eines jeden beliebigen Rotationskörpers berechnet. Wir kennen die Anzahl der Definitionspunkte und die der Rotationen, wodurch sich der Schrittwinkel ergibt:

(am besten die Anzahl der Rotationen so festlegen, daß der Schrittwinkel einen Integerwert ergibt)

Wie kommen wir jetzt auf die Gesamtzahl der Punkte? Nun, die Definitionsebene mit x Punkten wird schließlich y-mal gedreht, bis ein ganzer Körper entsteht, also:

Eine Ebene besitzt dann logischerweise eine Fläche weniger, als Punkte vorhanden sind. Für die Gesamtzahl der Flächen erhalten wir somit eine ähnliche Formel:

Angenommen, das Objekt besäße 20 Definitionspunkte und würde 50mal rotiert, so ergäben sich 1000 Punkte und 950 Flächen. Sie können sich vorstellen, was es bedeuten würde, all diese Punkte und Flächen mit einem normalen 3D-Editor einzugeben. Bei der Definition als Rotationskörper müssen Sie nur die 20 Punkte angeben, den Rest erledigt der Computer für Sie.

Funktions- und Programmbeschreibung

Zu Beginn werden, wie besprochen, sämtliche Arrays definiert sowie einige Variablen vorbelegt, dazu zählen die maximale Anzahl der Punkte und Rotationen, die auf 512 KB ausgelegt sind. Sollten Sie mehr Speicher besitzen, können Sie diese Zahlen erhöhen. Weiterhin sind die Koordinaten der Lichtquelle und des Beobachters und die Ausgangswerte für die Drehung, Skalierung, welche das Objekt vergrößert oder verkleinert, und Translation (sorgt dafür, daß das Objekt am Anfang in der Mitte des Bildschirms erscheint) festgelegt. Nach der Initialisierung des Menüs wartet das Hauptprogramm in einer DO-LOOP-Schleife auf ein Menüereignis. Sollten Sie Eingeben angewählt haben, wird zuerst körper_eingeben angesprungen, wo das Programm die Eingabe der Punkte steuert und sie automatisch durch Linien verbindet. Das Drücken von Help bewirkt hierbei das Löschen aller bisher eingegebenen Punkte, und durch Drücken von Undo kann der zuletzt eingegebene gelöscht werden. Am Ende der Prozedur trägt das Programm noch die zweidimensionalen Punkte in das Raumpunkte-Array ein. Dies ist möglich, da die Definitionsebene gleichzeitig die x-y-Ebene im Raum ist, weshalb die z-Koordinate immer 0 bleibt und auch die x- und y-Koordinaten sich nicht ändern. Diese Punkte stellen die Urpunkte für alle Rotationen bei der Berechnung des Objekts dar.

Das Programm ermittelt jetzt den Schrittwinkel und führt mit Hilfe dessen die Drehungen durch. Für diese gibt es folgende Formel:

Dies ist zugleich der Angriffspunkt für eine Erweiterung. Die Drehung läßt sich nicht nur um die y-, sondern auch um die x-oder z-Achse ausführen. Wir geben hier nur die Formeln an. Der Einbau ins Programm dürfte keine Schwierigkeiten bereiten.Drehung des Urpunktes (x,y,z) um die x-Achse mit dem Winkel w:

Drehung des Urpunktes (x,y,z) um die z-Achse mit dem Winkel w:

Nach der Rotation aller Punkte einer Ebene werden die Punktnummern der letzten und die der aktuellen Ebene zu einer Fläche zusammengesetzt. Deshalb wird auch bei der zweiten und nicht schon in der ersten Ebene an gefangen, denn bei der ersten Ebene existieren noch keine vorher berechneten Koordinaten, die für eine Fläche genutzt werden könnten. Anschließend erfolgt die Verzweigung in die Prozedur transform, in der das Objekt erst sehenswert gemacht wird. Dazu wird es skaliert, auf Deutsch: verkleinert oder vergrößert, und um die 3 Achsen rotiert. Die dafür entsprechenden Winkel heißen rx, ry und rz.

Da wir nach der Berechnung des Objekts direkt auf die Vorderseite des Körpers blicken, erscheint uns das Bild immer noch zweidimensional. Deshalb benötigen wir in dieser Situation den Aufruf von transform. Wir drehen das Objekt hierbei etwas um die x-Achse, so daß wir schräg auf die Figur sehen und sie endlich dreidimensional bewundern können. Die Formel zur Rotation um die 3 Raumachsen in einer Rechnung entnehmen Sie bitte dem Programm. Die Sinus- und Cosinuswerte, die zur Drehung nötig sind, werden mit den SINQ- und COSQ-Funktionen berechnet, da diese etwa zehnmal schneller sind als die normale Sinus- und Cosinus-Funktion. Die Abweichungen zwischen den beiden Werten sind trotz der Interpolation bei den schnellen Funktionen vemachlässigbar klein. Doch nun zur Skalierung in transform. Bei der Vergrößerung bzw. der Verkleinerung müssen Sie nur alle Koordinaten mit einem Faktor multiplizieren .Dieser Faktor heißt Skalierungsfaktor und hat zu Beginn des Programms den Wert 1, das heißt, die Größe des Objekts bleibt unverändert. Hier nun die einfache Formel:

Jetzt kommt van Gogh!

Sie werden sich sicherlich fragen, was van Gogh mit unserem Rotationskörper gemeinsam hat. Die Antwort: Er hilft uns beim Verdecken der Flächen. Überlegen wir einmal, wie er seine Bilder zeichnete. Die Gemälde entstanden immer von hinten nach vorne. Zuerst kommt der Hintergrund aufs Papier und wird mit der Zeit von den weiter vorne liegenden Objekten übermalt, so daß sich für ihn keine Probleme mit verdeckten Rächen ergeben. Man nennt diese Vorgehensweise auf den Computerübertragen verständlicherweise Painter-Algorithmus, den wir vor allem wegen seiner Einfachheit halber in das Programm einbauten. Sicher gibt es bessere Algorithmen, doch sind für diese entsprechende Mathematikkenntnisse notwendig. Jetzt aber weiter mit van Gogh. Zuerst müssen wir natürlich ermitteln, welche Flächen am weitesten hinten liegen, wozu wir am besten den Mittelwert der vier z-Koordinaten errechnen, da ja nicht alle Flächen parallel zur x-y-Ebene verlaufen. Diese Werte legen wir im Feld mittel() ab. Jetzt kann die Flächennummer in Abhängigkeit von ihrem z-Mittel-Wert in das Array fl_sort() eingefügt werden, so daß die Flächennummer mit dem höchsten Mittelwert als erstes im Feld zu finden ist und deshalb auch als erstes gezeichnet wird. Die für den Painter-Algorithmus zuständige Prozedur heißt in unserem Programm verdecke.

Jetzt kommt Farbe ins Spiel

Falls Sie im Menü Schattierung angeklickt haben, verzweigt jetzt verdecke zu farbe, welche die Farbwerte für die Flächen ermittelt. Andernfalls findet keine Farbgebung statt, was Zeit einspart. Dies ist besonders bei Rotationen sinnvoll, da diese viel Zeit beanspruchen. Sollte sich Ihr Objekt in der gewünschten Stellung befinden, können Sie durch Anklicken von Schattieren dem Körper nachträglich Farbe verleihen. Da wir jedoch das Programm auf den Schwarzweißmonitor ausgelegt haben, müssen wir Füllmuster verwenden. Hierfür eignen sich vor allem die Muster des Typs 2 mit dem Index von 1 bis 8, welche praktisch Graustufen darstellen, und natürlich das weiße Füllmuster. Deshalb bringen wir die errechneten Farbwerte auf Zahlen zwischen 0 und 8. Den Algorithmus zur Beleuchtung können wir allerdings nicht näher erläutern, da auch hierzu fundierte Mathematikkenntnisse nötig wären. Es sollte auch nicht Sinn des Artikels sein, dieses Wissen vorauszusetzen.

Bitte schlagen Sie bei Interesse in den Büchern [1], [2] oder [3] nach. Sie können jedoch mit den am Anfang des Programms festgelegten Werten für die Hintergrund-und Lichtintensitäten experimentieren oder die Koordinaten der Lichtquelle ändern. Endlich kommt der Augenblick, in dem unser Objekt mit Hilfe der Polyfill-Funktion auf dem Bildschirm erscheint.

Nun fehlt uns nur noch ein Menüpunkt, nämlich „transformieren“, mit dessen Hilfe das Objekt skaliert, verschoben oder um die 3 Raumachsen rotiert werden kann. Sie können es beispielsweise durch Drücken auf die linke Maustaste an jede beliebige Bildschirmposition plazieren. Außerdem sind noch folgende Tasten mit Funktionen belegt:

1: Objekt um die x-Achse drehen (um den Winkel 30°, siehe ADD x_wink, 30, beliebig veränderbar)
2: Objekt um die x-Achse zurückdrehen
3: Objekt um die y-Achse drehen
4: Objekt um die y-Achse zurückdrehen
5: Objekt um die z-Achse drehen
6: Objekt um die z-Achse zurückdrehen
7: Objekt vergrößern (mit dem Skalierungsfaktor 1.2, siehe MUL x_skal,1.2, beliebig veränderbar)
8: Objekt verkleinern

Im Programm bewirkt das Drehen um die y-Achse jedoch gar nichts, da der Körper ja schließlich durch Rotation um diese Achse entstanden ist. Wir haben die Funktion eingebaut, da manche vielleicht die Idee verwirklichen, den Linienzug um die x- oder die z-Achse zu drehen, wobei die Drehung um die y-Achse mit Sicherheit sinnvoll ist.

Noch ein Tip: Verändern Sie doch die Koordinaten des Beobachters und legen Sie die Bilder in einem Array ab. Danach bringen Sie diese hintereinander auf den Bildschirm. Verbunden mit der Rotation und der Skalierung können Sie dadurch die tollsten Wanderungen durch den dreidimensionalen Raum und Ihre Rotationskörper erstellen und diese als Animation betrachten.

Christian Roth/Matthias Brust

Literatur:

[1] ATARI ST - 3D-Grafikprogrammierung, Uwe Braun, Verlag: Data-Becker, ISBN 3-89011-130-0

[2] Principles of interactive Computergraphic, William M. Newman/Robert F. Sproull, Verlag: Mc Graw-Hill Book Company ISBN 1-89028-015-3

[3] ATARI ST - 3D-Grafik und Animation, Axel Plenge, Verlag: Data-Becker, ISBN 3-89090-676-1

[4] ATARI ST - Das Supergrafikbuch, Axel Plenge, Verlag: Data-Becker, ISBN 3-89011-004-5

[5] Computergrafik 2D- und 3D-Programmierung, Günter Pomaska, Verlag: Vogel-Buchverlag, ISBN 3-8023-0759-3