Immer wenn mein Taschenrechner Zahlenungeheuer wie 0.12345345345345 ausspuckte, verzweifelte ich fast. Zwar ist diese Zahl relativ aussagekrÀftig, ich hÀtte aber lieber einen kurzen (und genauen Bruch), der dieser Zahl exakt entspricht.
Es lĂ€Ăt sich auf den ersten Blick vermuten, daĂ es sich um eine periodische Zahl handelt (Periode 345), doch welchem Bruch entspricht sie? Es ist ja eine mathematische Tatsache, daĂ sich jede periodische Zahl als Bruch schreiben lĂ€Ăt. Die Aufgabe lautet also: 0.12345 = ?
Die Lösung dieser Aufgabe (natĂŒrlich auch beliebiger anderer) ĂŒbernimmt das Programm Zahl->Bruch. Die Verfahrensweise ist relativ einfach und soll anhand der oben genannten Aufgabe demonstriert werden:
x = 0.12345
1000000*x = 12345.345345345345... (100000 = 10^5)
- 100*x = 12.345345345345... (100 = 10^2)
-------------------------------------
99900*x = 12333.0 (!) -> x = 12333/99900 = 4111/33300
Der erste Faktor (10^5) berechnet sich aus der LĂ€nge der Periode (3 Stellen) plus der relativen Position der Periode nach dem Dezimalpunkt (2 Stellen). Der zweite Faktor (10^2) berechnet sich aus der relativen Position der Periode nach dem Dezimalpunkt (2 Stellen). Diese beiden Zahlen mĂŒssen dem Algorithmus immer entsprechend angegeben werden. Das Programm kann auch dahingehend erweitert werden, daĂ es LĂ€nge und Position der Periode selbst erkennt.
Das Ergebnis der Berechnung braucht dann nur noch gekĂŒrzt zu werden (was im Programm fast die meiste Arbeit macht). Die Prozedur liefert dann den Bruch zurĂŒck.
Ein interessantes Beispiel ist der Aufruf der Prozedur mit der Zahl 0.99999999999999... Der Algorithmus liefert als Ergebnis den Bruch 1/1! Daà das Ergebnis völlig korrektest, zeigt dieser kleine Beweis:
1/3 = 0.3333333333333333...
1/3 = 0.3333333333333333...
+ 1/3 = 0.3333333333333333...
-------------------------------
1 = 0.9999999999999999... !
Das Programm wurde bewuĂt einfach gehalten, damit es leicht in andere Programmiersprachen portiert werden kann.
' by Andreas Lauterbach fĂŒr ST-Computer
' (c) 1992 MAXON Computer
' beliebige Zahl in Dezimalbruch wandeln in GFA-BASIC 3.0
'
' Aufruf: zahl_bruch( < Dezimalzahl >,
' < Anzahl der Nachkommastellen vor der Periode >,
' < LĂ€nge der Periode >,
' < Variable fĂŒr ZĂ€hler >,
' < Variable fĂŒr Nenner > )
' Beispiel: 0.12345: zahl_bruch(0.12345,2,3 , z, n)
' --> z=4111, n=33300
'
CLS
INPUT "Dezimalzahl :";zahl
INPUT "Wieviel Ziffern zwischen Dezimalpunkt und Periode :";e1%
INPUT "LĂ€nge der Periode :";e2%
zahl_bruch(zahl,e1%,e2%,zl,nn)
PRINT SPACE$(10+LEN(STR$(INT(zahl)))+e1%);STRING$(e2%, "_")
PRINT "Die Zahl ";zahl;" entspricht dem Bruch ";zl;"/";nn
END
'
PROCEDURE zahl_bruch(zahl,anz_vk%,len_per%,VAR zaehler,nenner)
IF zahl<0
vz=-1
ELSE
vz=1
ENDIF
zahl=zahl*vz
pot1=10^(anz_vk%)
pot2=10^(len_per%+anz_vk%)
zaehler=INT(zahl*pot2)-INT(zahl*pot1)
nenner=pot2-pot1
u=zaehler
v=nenner
rest=1
WHILE rest>0
rest=u MOD v
u=v
v=rest
WEND
zaehler=(zaehler DIV u)*SGN(vz)
nenner=nenner DIV u
RETURN